IX.3 ECUACION DE ONDA ELECTROMAGNETICA

De la ecuación de Maxwell IX.III (o IX.VII)) se puede notar que los campos eléctrico y de inducción magnética son proporcionales entre si. Esto es así, puesto que el valor máximo del flujo del campo magnético se obtiene cuando es perpendicular a la superficie S y el valor máximo de la integral de linea ocurre cuando el campo eléctrico coincide con el contorno de la superficie S de integración.

Ese resultado se ilustra esquemáticamente en la figura IX.1. En este caso, se considera que los campos eléctrico y magnético dependen solamente de una coordenada. Esto induce a pensar que debe existir una relación entre ambos campos.

 

 

El esquema indicado en la figura IX.1 es valido para puntos muy cercano a la fuente generadora del campo electromagnético. Esto se hace con el fin de eliminar variaciones del campo en cualquier otra dirección diferente a la considerada. Es decir, no se toma en cuenta las líneas de fuerza del campo eléctrico en la dirección y o z. Lo mismo se supone para el campo de inducción magnética. Se consideran solamente las ecuaciones de Maxwell en el vacío. Ahora, consideradas como un conjunto compacto de ecuaciones integrales (o diferenciales), las ecuaciones de Maxwell deben tener como solución especial un campo eléctrico y magnético con ciertas propiedades. El objetivo es encontrar esta ecuación y obtener algunas de sus propiedades.

Usando la EC (IX.VII) con la trayectoria cuadrada PQRS indicada en la figura IX.1, se obtiene:

 

(IX.VII)

 

Nótese que la circulación del campo eléctrico, se puede separar en cuatro integrales (una por cada lado de la trayectoria de integración) de la siguiente forma:

 

(IX.1)

Puesto que el campo eléctrico es perpendicular a las trayectorias de integración QR y SP, entonces las integrales respectivas son nulas y, por lo tanto, no contribuyen a la circulación del campo eléctrico, resultando:

 

(IX.2)

donde y son los valores del campo eléctrico en los puntos Q y R respectivamente y los segmentos y corresponden al elemento de trayectoria . En el valor límite, el resultado que aparece en la EC (IX.2) se puede aproximar al valor diferencial del campo eléctrico, obteniéndose:

 

(IX.3)

Por otro lado, puesto que , de la EC (IX.VII) se obtiene que:

 

(IX.4)

En el valor límite, la EC (IX.4) se puede aproximar a:

(IX.5)

 

Luego igualando las ECs (IX.3) y (IX.5) se obtiene:

 

Resultando:

(IX.6)

Ahora, aplicando la EC(VIII) (Ley de Ampere) al campo de inducción magnética indicado en la figura IX.1, con la trayectoria de integración PQRS en el plano XZ se obtiene:

 

 

(IX.7)

 

donde se ha reemplazado los valores de los segmentos y por .

De forma similar a la usada para obtener la EC (IX.3), en el límite, se obtiene que:

 

(IX.8)

 

Usando la EC (VIII) se obtiene que:

(IX.9)

 

Luego, igualando las ECs (IX.8) y (IX.9) se tiene:


 

Resultando:


(IX.10)

Comparando las ECs (IX.6) y (IX.10) se puede notar la simetría que esta presente en esas ecuaciones, indicando que debe existir una única ecuación para y otra para . Así, derivando con respecto a x, la EC (IX.6) se transforma:

(IX.11)

donde el intercambio de órdenes de las derivadas se realiza suponiendo que los campos son funciones continuas.

Sustituyendo la EC (IX.10) en la EC (IX.11) resulta:

 

Desarrollando la derivada queda:

(IX.12)

 

Derivando con respecto a x a la EC (IX.10) y usando luego la EC (IX.6) se obtiene una ecuación similar a la (ECIX.12) para el campo de inducción magnética B z de la forma siguiente:

 

(IX.13)

 

Tratando de encontrar un significado físico para este par de ecuaciones,

se analizara las unidades del producto de las constantes como sigue:

 

como se ve, la unidad del producto de esas constantes corresponden al inverso de cuadrado de la velocidad, es decir:

 

(IX.14)

 

Sustituyendo por los respectivos valores numéricos de y se tiene:

 

 

valor que coincide con el valor encontrado y establecido de la velocidad de la luz c.

Por otro lado, las ecuaciones (IX.12) y (IX.13) tienen la misma estructura algebraica que la ecuación que gobierna el comportamiento de una señal u onda transversal en una cuerda, es decir:

 

(IX.15)

 

siendo la función de onda que depende de la posición x y el tiempo t y que se desplaza a través del medio (cuerda) con una velocidad v. Esta ecuación se conoce como la ecuación de la onda.

 

Comparando las ECs (IX.12), (IX.13) con la EC (IX.15) se puede deducir que:

 

•  los campos eléctrico y magnético se comportan y se propagan como ondas en el espacio libre o el vacío

•  se propagan en el espacio libre con una velocidad dada por la relación

 

Estos dos resultados son y han sido de tremenda importancia para el desarrollo científico y social

La relación que define la velocidad de propagación de los campos eléctrico y magnético tiene una gran importancia en el campo electromagnético: relaciona las tres constantes básicas del mismo: c (la velocidad de una onda electromagnética), (permisividad electrica del espacio libre o vacío) y (permisividad magnética del espacio libre).

Las soluciones de la ecuación (IX.15) son funciones armónicas que tienen las formas siguientes:

 

 

(IX.16)

 

 

siendo la amplitud o valor máxima de la onda, k = (2 p / l ) es su numero de onda, l es su longitud de onda y w = 2 p f es su frecuencia angular. Por analogía, una solución para las ECs (IX.12) o (IX.13) tendría la forma:

 

(IX.17)

 

(IX.18)

 

donde E 0y y B 0y son valores constantes que representan los valores máximos de los campos y respectivamente o las amplitudes de las respectivas ondas, k y w tiene el mismo significado ya definido. El sentido de propagación es según el eje x positivo. Se deja como ejercicio al Lector, comprobar por sustitución directa que las ECs (IX.17) y (IX.18) son soluciones de las ECs (IX.12) y (IX.13).

Las soluciones dadas por las ECs (IX.17) y (IX.18) se conocen también como ondas planas electromagnéticas.

Reemplazando esas soluciones en la EC (IX.6) se obtiene que:

 

(IX.19)

 

siendo f la frecuencia asociada a la onda electromagnética. De esta EC (IX19) se puede decir que las amplitudes de los campos eléctrico y de inducción magnética (y por ende, los campos eléctrico y magnético) oscilan al unísono o que están en fase. Esto es cierto puesto que los valores de las amplitudes consideradas son números reales, luego su cociente siempre será un número real. Este hecho se observa si se toma el siguiente cociente:

 

 

De lo estudiado hasta ahora, se puede dar el siguiente resumen o propiedades acerca de los campos electromagnéticos:

•  Si existe un campo eléctrico variable E(x,t) en el vacío, entonces también existe un campo de inducción magnética variable B(x,t) y viceversa.

•  Los campos eléctrico y de inducción magnética son perpendiculares entre si y transversales a la dirección de propagación.

•  Los campos eléctrico y de inducción magnética obedecen a sendas ecuaciones de ondas y se propagan con una velocidad igual a la velocidad de la luz.

•  La velocidad de propagación predicha por la ecuación de onda esta relacionada con las constantes electromagnéticas m 0 y e 0 .

•  Las ondas luminosas se pueden identificar con las ondas electromagnéticas, es decir, la luz es un tipo de onda electromagnética .

La dirección de propagación de una onda electromagnética en el vacío coincide con la dirección del producto vectorial de los campos eléctrico y de inducción magnética dado por . A este producto vectorial se le denomina el vector de Poynting en honor al científico británico John H. Poynting, es decir:

 

(IX.20)

La intensidad (energía promedio por unidad de área y tiempo) de la onda electromagnética es igual al valor medio del vector y es igual al producto de la densidad de energía promedio y la velocidad de la onda.

Para demostrar esa afirmación, se calcula primero la intensidad de la onda electromagnética como sigue: La densidad de energía asociada al campo eléctrico y al campo de inducción magnética esta dadas por:

y

 

La densidad de energía asociada al campo electromagnético seria:

 

(IX.21)

donde se ha usado la EC (IX.12).

 

Luego, la intensidad de la onda electromagnética es:

(IX.22)

 

La intensidad promedio esta dada por:

 

(IX.23)

 

donde el promedio del cuadrado de la función seno durante un ciclo o más es igual a (1/2).

Comparando las ECs (IX.23) y (IX.20) se puede obtener que:

 

De la EC (IX.20) se puede determinar la potencia promedio asociada a una onda electromagnética que atraviesa un área A como:

 

(IX.24)

De la EC (IX.24) se puede observar que representa el flujo de energía a través de una superficie.

Se sabe que el momentum y la energía están íntimamente relacionados, de manera que se puede pensar que una onda electromagnética es portadora, además de su energía asociada, de un momentum dado por:

 

(IX.25)

 

Siendo el vector unitario dirigido a lo largo de la dirección de propagación de la onda electromagnética y es la energía asociada a la onda (densidad de energía).

De acuerdo a las ECs (IX.17) y (IX.18), los campos eléctrico y de inducción magnética tiene una frecuencia angular de oscilación w y una longitud de onda l asociadas. Estos parámetros están, a su vez, relacionados con las fuentes que generan los campos, es decir, las cargas electricas en movimiento. Esto indica que la frecuencia angular asociada al movimiento de las fuentes generadoras es la misma que la de los campos. En principio, no hay restricción al número de frecuencias angulares . Hasta la fecha se han detectado ondas electromagnéticas con frecuencias que varían desde 10 4 cps(Hz) ( l = 7x10 4 m) hasta frecuencias del orden de 10 24 cps(Hz)

( l = 3x10 -16 m).

El espectro conocido cubre un intervalo de 20 órdenes de magnitud, que incluye ondas electromagnéticas de: radio, radar, luz visible, infrarrojo (calor), ultravioleta, rayos-x y rayos- g . En la figura IX.2 se muestra un resumen del espectro electromagnético antes descrito.

No se darán detalles para encontrar las soluciones a la EC (IX.15) (ecuación de onda). Sin embargo, se sugiere consultar el texto indicado en la Ref. (1) del Cáp. VIII.